陈凯师质数，黎曼猜想，RSA，以及金融系统可能崩溃？-蒋博的多棱镜

陈凯师好久不见。
小磕这回出现，是因为前天（20日）出现了一条一般人不知所谓，但是学术界为之震动的消息：著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿提亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah）宣布要在本月24号在海德堡宣讲自己对于黎曼猜想的证明。
这跟小磕有啥关系呢？无他，就是小磕因为某些原因，前面几个月大补了很多数论相关的知识——没错，就是传说中的数论，而质数跟黎曼猜想正是其中的重点。
当然，可能大家这两天已经看过很多相关的文章介绍相关内容，不过嘛，果壳的评论区画风是这样的

所以，小磕还是来用不需要任何高等数学知识的方式来给大家讲一讲～
数论这个分支研究的，主要是整数的性质，比如说，整除啊，同余啊等等。很多问题虽然形式上非常初等，事实上却要用到很多艰深的数学知识，比如说，中国人都比较熟悉的哥德巴赫猜想。正如哥德巴赫猜想所指出的，数论中最引人注意，或者说最让数学家们着迷的，就是关于质数的问题。来复习一下，质数就是只能被1和自身整除的正整数，例如，2，3，5，7，11等。早在公元前，欧几里得——没错，就是那个自己认为在做哲学研究，却被后世当做数学开山鼻祖的欧几里得——就证明了质数的数量是无限的，然后数学家们看着这些质数就像，这些数看起来似乎毫无规律，那么他们的分布真的没有规律吗？
这就是数论中的一个大坑。
而黎曼猜想是这样的。

黎曼大神（他有多神就大家自己百科啦，随便举个例子，如果没有他，爱因斯坦的广义相对论可能就很难问世）首先构建了一个函数，这个函数相信几乎所有读者都理解不了咱们这里就略过了_(:з」∠)_，然后他对这个函数的性质做了一个猜想。这个猜想如此之重要，以至于很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明，也因此，2000年5月的时候，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute, CMI）为了呼应1900年希尔伯特提出的23个历史性数学难题（也称“希尔伯特难题”）而设立的了一个成为“千禧难题”的数学问题挑战，一共7个问题，解出一道便可获得100万美元的奖金，挑战时间不限，其中最著名的，正是以黎曼猜想。

从此，数学家们就有个笑话：怎样用世界上最难的方法挣到100万美元？答：去证明黎曼猜想吧！～～据说，每年各大研究中心都会收到无数的神秘来信声称自己证明了“黎曼猜想”，这次新闻里的这位阿提亚爵士也同样在几年前曾声称自己证明出来过，然后学界并没有承认……也因此，这次学界也并没有多么看好。
看到这里聪明的同学举手提问了：说了这么多，这个黎曼猜想，跟质数又有什么关系呢？是这样的。黎曼大神写出他的zeta函数后，很快发现，质数出现的频率跟他这个函数有很大关系，也就是说，如果黎曼猜想能够被证明，那么人类以后寻找质数，就会大大方便了。
这时候肯定又有更多的同学提问了：那这个东东，除了满足数学家的兴趣之外，又有什么作用呢？
关于这个问题的答案有几个层次。首先，小磕希望大家都能理解一点，就是基础科学的价值，是不能用短期的实用性来衡量的。你说牛顿万有引力定律，在当时有什么实际的作用呢？相对论呢？量子论呢？很多底层科学的进步，要等待未来，才能体现出它巨大的价值，而数学正式基础科学中的基础。其次，我们前面说了，有大量的数学和物理定理是在黎曼猜想为真的前提下发展出来的——据说光数学定理就有一千多条，所以黎曼猜想的真伪，对学科来说都有着举足轻重的影响。而最后but not least，黎曼猜想的证明对于我们当下的现实生活，还真的有一个立竿见影的影响，而且也是地震级别的。
自古以来，人类对于加密和密码就有着频繁的需求。在古代，主要是军事上的密信，以及偶发的秘密通信的需要；而到了现代社会，军事场景依然存在，同时还增加了更大的两个场景：商业通讯和网络通讯。显而易见，如果没有密码学的帮助，让信息可以加密存储和传输，你的银行账户信息和密码，还有你平时上网的各种记录，都无法保证安全。
当然，古代的那些加密方式（恐怕也是大多数人脑海里会想到的方式）都已经被淘汰，非对称加密成为现代密码学的主流（小磕在讲比特币的时候讲过），具体的算法多种多样，在商业领域，最常用的算法是1977年当时在MIT的R、S、A 3位学者提出的RSA算法（小花絮，其实1973年英国数学家就已经提出相同算法，但被政府列为机密，97年才公开）。
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。
这个RSA算法是怎么样的呢？简单来说，它利用了一个事实，就是将一个极大的整数做质因数分解非常困难，因此先找到合适的大质数（经过一定的运算）作为私钥，再把他们的乘积（经过一定的转换）作为公钥，就符合我们之前说过的公钥私钥的标准：私钥可以推出公钥，不能反推，然后用公钥加密信息，私钥解密。
维基百科写了这么一段：
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。
对极大整数做因数分解为什么困难呢？因为质数的分布不规律，很难通过计算找到合适的质数。那要是质数的分布规律被找到了呢？换言之，如果黎曼猜想被证明了呢？
这就是为什么这次很多宣传会说，新闻一出，不啻于一场地震。不过呢，小磕这时候大手一挥，大家莫慌，其实哪有这么严重啦～且不说主流的加密算法还有很多可选，即使是RSA本身，也还有很大的进步空间。回到数论，在已经很特殊的质数里面，还有一些更特殊的种类，比方说，孪生质数（twin primes，指的是两个数a和a＋2都是质数），safe prime（可以写成2p＋1形式的质数，其中p也是质数），还有由质数组成的链cunningham chains。只要使用的不是普通质数而是这些更特殊的质数，即便黎曼猜想得到证明，RSA也依然可以保持足够的安全度。大家还是可以可以愉快地进行商业活动的～～
至于说后面说的这些质数有什么特点，为什么更安全，嗯，小磕看下次有机会（又挖一个坑），给大家发点专业内容看看，哈哈。
（读完之后，你选择点赞还是分享支持小磕呢～）
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